111學測是108課綱下的第一屆學測。此課綱相較舊課綱的變動幅度不小，考題又有一些變革，因此這次學測也是眾所矚目的一次考試。我們知道109學測的數學被稱為史上最簡單，當年數學滿級分人數更是破紀錄的多。而隔年的110學測數學難度三級跳，稱為史上最難不為過。這兩年讓學生難以捉摸學測數學的難度，教學現場的老師也相當困擾。
110學測考完之後，我們當時便有一個想法，未來111學測的數學A難度會與110學測相近，數學B會與109學測相近。之後大考中心為這屆高三特地舉行了一次新課綱的學測試辦考試，這次考試的題目印證了一些想法，數學A與數學B未來的難度落差會很大；未來，數學A的難度大概就會像以前的數學甲一樣，而數學B的難度則大概會比照數乙。
很多學生可能會想110學測數學考得那麼難，新課綱第一次考會下修一下難度吧？結果考完哀鴻遍野，再次見到新聞標題「111學測數學史上最難」。很多人可能沒意識到一個問題，今年的學測開始有分成數學A和數學B，就如同以往指考的數甲都很難，數乙都很簡單一樣，因此不像110學測一樣，所有學生都考同一份卷，過難的題目對社會組的學生的鑑別度低。不過這也等同大考中心在暗示學生，沒有高數學需求就選數B吧！
這是111學測數學A的題目連結：
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0M047552861889545285/03-111%E5%AD%B8%E6%B8%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8A%E8%A9%A6%E5%8D%B7.pdf
試題的解析已經有很多老師寫得很好，網路上也都找得到。因此這篇主要著重在我們對於這20題的一些個人見解與評論。
第1題
這題最難的應該是看懂題目的意思！這份考卷有不少題的語意不容易理解，像這題「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過100種」可以算出n=15，但是後面的問題「來店顧客從n 桶中任選兩球（可為同一口味）共有幾種方法？」很容易讓學生搞不清楚或沒注意到「可為同一口味」這件事，而把答案寫成\(C_2^{15} = 105\)。混和了兩種情境，且誤解情境依然有答案可選，並不是很恰當的安排。
第2題
這題沒什麼爭議，主要測驗對數的運算性質，有基本程度的學生應該要會。
第3題
這題對學生除了又是看不懂題目外，恐怕還有不少爭議。然而大考中心出這題的本意我覺得是不錯的，它想測驗在統計上一些直觀的概念。如果觀察這幾年的學測，數據分析這個單元鮮少計算統計數據，幾乎都是以圖表呈現數據再讓學生很直覺地判斷統計數據的估計值與比較數據之間的關係。因此平時我會跟學生強調要去理解每一個統計數據的意義，而不是只會那些背公式。至於本題的爭議處，可以參考成大數學系舒宇宸教授的文章：《變異數的探究與實作 — 以2022年學測第三題為例》。
第4題
這題也沒什麼爭議，主要在測驗學生等差數列的定義與對數的運算性質。
不過這題的代數運算量較多一點（111數學A這份考卷整體的計算量都偏多！有一些題目刻意讓它複雜化，需要用到多個跨單元的概念）。根據我們的教學經驗，大多數學生若需要應用到多個不同單元的概念，就會很容易做錯。
還有第2題已經有考對數的運算了，不明白為何這題又再考對數的運算。
第5題
這題算是經典貝氏定理的考古題了，之前也有多次檢驗的學測題(103學測第6題)。
第6題
這題畫個圖應該就能看出角平分線與L垂直，進而求得斜率，算是容易又不老套的問題，其中也有些細節可以去思考，例如題目沒說角平分線是哪一條，如果是另一條，那結果就是與L平行而不是垂直。
以上六題為單選題，我們覺得在這份考卷中這六題都不難，算是中規中矩的題目。
第7題
這是一題課本中都有的絕對值不等式題目。我們可以直接把n的解算出來，因此這題除了考絕對值不等式外，也考學生的邏輯觀念。比較特別的是，本題的選項中考到將不等式兩邊平方，這在99課綱中是較少使用的方法，108課綱的第一次學測就出現這樣的問題，可以預期未來學校的段考、模擬考會出現不少這樣方法的問題。
第8題
這是是測驗三角比那個單元的內容，考了基礎的正弦定理與餘弦定理。我個人認為這題比第7題更容易全對，沒什麼陷阱或會誤判之處。
第9題
選項(1)要判斷Q、R是否在△ABC內部，以Q點為例，我想所有的老師都會直覺想到要考慮\(a,b\)的正負與\(a + b\)是否會小於1吧。
這裡是一個有爭議的條目，在108課綱中有這段話：
課綱說不證明，但沒說不能考。舊課綱中這是一個重點，學測也考過幾次這個觀念，但現行課本幾乎沒有或很少相關題目。我當初看到這點就充滿疑惑這個三點共線的性質是要教還是不要教？好了，大考中心在這次考試告訴我們，大家還是學一下這個性質吧！
此外這題也不算簡單，在選項（３）（４）（５）判斷上，雖然不用真的計算出三角形的面積，無論你是利用向量性質來算長度比與面積比，或是利用二階行列式的三角形面積公式，在列式上可能都會蠻繁鎖的。
第10題
108課綱明明就砍了多項式方程式，結果選項(1)就問有幾個整數根。我們認為即使不是真的考三次多項方程式求解，牽扯到根的問題還是覺得怪怪的，算踩在界線上吧。除了這個爭議點外，這題是一個不錯的題目，也符合三次函數在課綱中希望學生知道的圖形、對稱性、一次近似等問題。
第11題
此題是測驗空間概念與三角比的問題。為了判斷BCFE是否為一個矩形，我們用了三垂線定理，不過我們猜想大概多數學生憑直覺就把BCFE直接當作矩形了吧！這題並不難，只要可以判斷哪些角是直角，再利用基本三角比的大小關係即可選出正確答案。不過第8題也是考三角比，108課綱數學A範籌中，在三角函數部份還有和差角公式、三角函數的圖形、正餘弦函數疊合等這些內容都沒有出現在這份試卷中，卻考了兩題較基礎的三角比，單元分配上略有不平均之感。
第12題
這題應該是這份試卷中較難的題目之一。需先想到用到除法原理與\(y = f(x)\)與x軸無交點這兩點先推論出\(\deg f(x) = 4\)，之後再想到\(y = f(x)\)必恆為正或恆為負來推導出\((g(x)((g(x) – 1) > 0\)，才能得到\(g(x) > 1\)這個最終結論。
解此題需要在多項式這個單元有很紮實的基本概念，與縝密的邏輯思考。
在教學現場多年，我們發現有一些學生求速成，很多題目不求甚解，常只記解法卻不去理解每一個步驟是怎麼推論出來，也忽略掉很多細節。如第11題，很多學生就不會想為什麼BCFE是矩形，只憑直覺與猜測判斷。這樣的學生在第12題通常會毫無頭緖而做不出來。這個題目雖然很難，但是題目給的條件能推論與發展的方向不多，若能好好分析推導，還是有很大的機會能得到結論。
以上6題多選題一如過去的命題，是整份試卷中較難部分，需要思考與花費的時間都較單選與選填題多很多。
第13題
這是一題期望值的問題，題目本身不難，但題意還是有讓人誤解之處。有問題的地方在有代幣23000枚，每次「十連抽」需要1500枚代幣，23000除以1500沒有整除而餘500枚。這會讓人誤以為十連抽代表每抽150枚，因此500枚可再三抽而多算。
第14題
高斯消去法與矩陣列運算的考古題。這題也沒什麼爭議，只要有認真讀這個單元都應該要會，之後代數上的計算要小心，不要算錯即可。
108課綱數A在矩陣這個單元多了線性變換，原以為這次的學測可能會考這個新增的部份，結果不如預期。
第15題
這題我們不知該把它歸類於數學Ａ中的哪一個單元，事實上它只用到國中的幾何知識即可解出答案。課綱數學B中有一個條目是：
這題如果是在數學B中出現，應該毫無疑問是屬於這個單元吧！我們強烈地懷疑大概是出題教授搞錯A與B的範圍了吧！不過這題若是放到數B考試中，雖然只要具備基本幾何比例知識，應該還是屬於較難的題目。
第16題
這題是藉由外積求出法向量的典型平面方程式問題。
以往的學測試題，空間直線方程式不會寫成\(\frac{x}{2} – 1 = y + 1 = – 2z\)。但在去年試辦考試中數A的題目就已經出現這種寫法。這種寫法增添學生出錯的機率，一般作法需要先把直線方程式改寫成\(\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ – \frac{1}{2}}}\)來看出直線的方向向量。從去年的試辦考試到今年的學測，出題似乎都偏向讓題目複雜化，增加解題步驟與計算難度。這點讓人懷疑這是強調「數學素養」的題目所該有的嗎？
第17題
「坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為(-1,2,1),(-4,1,3),(2,0,-3)，另一面之一頂點在xy 平面上且與原點距離為1。」這段話不太容易理解是什麼意思，我們在解這個題目時，也花了一點時間在確認此圖形的樣子。此外這題需要計算平行六面體體積與用到柯西不等式，使用到觀念比較多，因此讓此題成為本卷較難的問題之一（以往例來看，只要要用到算幾不等式或柯西不等式的題目都是偏難的題目）。
這是一個不錯的題目，可惜不太清楚的敘述讓人不容易想，如果可以給一個示意圖，題意就會清楚許多了吧。
以上五題是選填題，選填題除了第17題是較難的題目外，平均難度應該還是較多選題簡單一些。
108課綱學測數學題目最大的改變就是新增了一個混合題，以題組方式呈現，其中至少有一題為非選擇題，需寫出計算過程或證明。但是不少學生缺乏完整的陳述能力，常在寫計算題或證明題時缺東缺西，或是沒有條理顛三倒四。因此許多學生很容易在學測中的這題手寫題被扣分，甚至是得零分（即使答案是對的）。
111年的這題混合題題目中提到了一個「掃描棒」這個名詞。我們不知道這是不是為了結合「情境」才使用，但是綜觀整個題目，掃描棒這個名詞實在沒有什麼存在的必要性。以往許多數學題目常為了情境而硬套上一些名詞，除了增加學生在解讀上的困難外，只會讓人批評垢病。
事實上，只要看得懂混合題的題目，能把敘述中的掃描棒畫出來，再想像一下移動的過程到停止時的位置，單純算坐標與面積並不難。作為學測的新題型，算是教授佛心來的放水題；不幸地是，從大考中心公佈的釋疑看來，有不少人對這個題目的敘述有不同的解讀。
寫完這份題目後，再回顧一次這20題，會發現好像沒有那麼難。第一遍寫時之所以有難的感覺，應該是因為不容易理解這些題目的敘述吧！未來再出現這種不易理解的題目時，學生們該如何面對？或是學生如何準備未來的學測？我們建議如下：
- 要提升自己對基本概念的理解。只有在很紮實的數學基礎上，才能以此基礎去「推理出」題目想表達的內容、概念或是內含的解題方法。在解題步驟偏多的題目中，對於每一個概念的嫻熟也才更不易出錯。對基本概念的理解永遠是最基本也是最重要的！
- 增強閱讀理解能力。由於108課綱強調「素養」，而有些素養題會以情境來呈現，未來一定會有需多利用情境包裝的問題，因此讀了題目並且正確理解題意是非常重要的！平常可以多準備一些長敘述的問題，學習從較長的敘述中找到解題所需的條件、解題的步驟等等；也可以多做一些大考的考古題，畢竟這些問題是由大考中心所提出，所以透過瞭解這些題目的敘述，以便掌握未來大考題的題意。另外，平常練習題目時，若無法瞭解題意或是對題意有疑義，請同學一定要和老師討論，以便瞭解數學老師、數學家對於這些敘述的解讀。
- 留意108課綱新增內容。新課綱有許多新增內容，或是有些內容原本是學測不考的部分，譬如：三次函數、數學期望值、克拉瑪公式的幾何意義、三階行列式的應用、線性變換、空間中的兩歪斜線等等，特別是這些內容與其他概念跨單元的整合。另外，關於向量的部分，除了傳統幾何問題的應用之外，向量的線性組合以及與矩陣、線性變換等觀念的結合將會是未來大考的重點！
- 擬定考試策略。這幾年的學測試題中，多選題通常都是較難且較花時間的題型；111學測開始新增混合題，我們猜測混合題應該不會很難，或是會將一個較難的題目分拆成幾個不難的小題，只要依照每個小題的指示就可以完成整個混合題，因此可以考慮依照：「單選→選填→混合題→多選」，或是「單選→混合題→選填→多選」的順序作答，避免在多選題花費過多的時間，反而沒有時間完成選填題及混合題；由於選填題與手寫題較難猜答，所以先作答此兩大部分，將多選題留在最後，萬一時間不夠，至少還可以猜答。
